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  维普资讯 2O 0 2年 3月 第 1 期 连云港师范高等专科学校学报 Jun loin u g n e c esC l g o rafLa y na gT ah r ol e e M ac 2 O rh, O 2 N 1 o. 文章编号 :09 70 Z0 ) 1 0 1 2 1o —74 {  ̄ 0 —0 1 —0 2 子 级 数 的 几 个 结 果 葛仁 福 王 习娟 ( 连云港 师范高等专科 学校 数学系 , 江苏 连 云港 220 ) 206 摘 要: 本文培 出了于 级数的概念 ,887700路线葡京 讨论 了子级数 与原级 数收敛性 之同的 关系 文献标识码 : A 关键词 : 级数 ; 子级数 ; 分和 ; 部 收敛 中图分类号 : 13 O 7 1 定 义 . 级数 , A 是其部分和 , 而 】 则部分 和数列 {】单调增加 , A】 f 设是 t t …, l 2 …正整数 , 0 l 2 ,, 且 <t<t<… <t k ” , 则称级数 B + 1+ +B + 1 B … 1 …为级数 a + +… l 2 L 】 因为正项级数 墨a 收敛, V ∈N A < a, l l 且 n , 】 I由 】 l ( .) 22知正项级数 ∑q 收敛 . 推论 1 正项 级数 ∑a 存在 一子级数 发散 ,887700路线葡京 级 . Ⅱ 则 +Ⅱ a+…的子级数 . 2 .已知 结论 21 若级数 ∑a 的部分和数列 { } . l 收敛 , 则称级 数 ∑ a 也 发散 . n 数 ∑a 收敛 . Ⅱ 推 论 2 正项 级 数 a 收敛 的充要 条 件 是 子级 数 . n n 】 22 正项级数 ∑a 收敛 的充要条件是部分和数 E a2 . Ⅱ  ̄_ a 与 收 吾 一都 敛- 列 {o有界 . S} 证明: 必要 性 由定 理 2 可得 : 23 若级数 ∑ I J . 收敛,887700路线葡京 则称级数 ∑ 绝对 收 敛. 充 分性: 、B 分别是级数 设 A 故有设 l . i =A,l , l ma l mB =B 且 从 而 可得 :i . ; l =O ma 由于 SⅡ … = +B +‰ + 2:A +B , 1 苫a 、 2 ! , =0 3 主 要 结果 . 苔 一的 分和 因 子 数吾 部 , 为 级 与苔 一都收 敛, :0 1 . 定理 1 若 级数 ∑a 的所有子级数都 收敛, . Ⅱ 则级 数 ∑a绝对 收敛 . l 观 令 u= n O L , a u Ⅱ + ∞ ∞ 所 以 t =A+B l + =A+B i m ,i m I … + ∞ L一 , a 。 n U 因 部 和 到{ 收 故 项 数苔a 此 分 数 } 敛,正 级 I l 收 显 蓦 然,善(v都 姜a 子 数,都 敛 一n 是 Ⅱ 级 故 收 ) 的 敛 , 而 v 从 Ⅱ收敛 : 为 I l 】+v 所 以 级 数 ∑ 因 _l Ⅱ n 绝对 收敛 . 需要说 明的是上述充分条件对任意级数都成立 . 定理 3 正项级数 ∑a 的通项 I l 调减少 , . l 单 则 定理 2 正项级数 ∑日 收敛的充要条件是 它的任 . Ⅱ 何子级数都收敛 . 证 明 : 分性 由定 理 1 接可得 : 充 直 蚤a l l 与 是 S 与 “ 有 同 敛 性? 具 相 的散 证明: 设正项级数 ∑日 与 ∑2 的 n 的部分和 D 项 必 性: 要 设级数善B 是正项级数 D 1 日的任一子 牧 稿 日期 .0 2 0 一 ' 0 — 1 衅 2 vn ∈N, 有 维普资讯 0 a +a t 2+a + a + 。 +赴 3 s A + 】 +… + a +( +a)+( +a l a s s s a s+a 6+a )+… +(2 T a +t + 。 。 + a n 一l 。 2“ 由 件 得:收 因 极 条 可 善 敛,此 限 存 记 在, a +2 +4 +… +2 a" 】 如 "2= S 为其极 限值 . 设 n n k , 当 +中 的项 全 为正 项 时 ,D k <n+ 则 s 从 而 , ∑ a 发散 ( 若 n 数列 I.无上界 )则 2a j s , s n =l s <S 。 A 中的项全 为负项时 ,o D m 当 … S㈧ S < . 也 发散 . 又有 =a +a+a+ +… +a l 2 3 2 n =a +a +( + ) a +a+a + )+… t z a +( s s 6 7 +( 一+ a~+ +… 1 2 2 l 1 因此 l D i =S即 a = ms | I 4 应 用 . . ) l+ a 2+ 2a + … + - s 。 例 l 判断级数 - 的敛散性 ? : { a 2+ … 2 : (+ 4 + + t ){ 解考 子 数 蓦 发 ,由 论 :虑 级 苫 1 散则 推 = 1 级数也 发 散 . 原 从 , a收 ( 列{j 上 , |n 而 若 | 敛 数 有 界) I 则乏22 】 a 也 收敛 . … 例 .断 数 + + + …+ 2 级 { 了 +

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